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<!DOCTYPE html>

<title>Nullteiler</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Nullteiler</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">In der <a href="Abstrakte_Algebra" title="Abstrakte Algebra">abstrakten Algebra</a> ist ein Nullteiler eines <a href="Ring_(Algebra)" title="Ring (Algebra)">Ringes</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}" loading="lazy"> ein Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy">, für das es ein vom Nullelement <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}" loading="lazy"> verschiedenes Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"> gibt, so dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ab=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ab=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1a59b821cbfde052e05d53bf5f013cbb97a6bbd6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.488ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle ab=0}" loading="lazy">. Dieses letztere Produkt wird gelegentlich als Nullprodukt bezeichnet.

Das Nullelement <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}" loading="lazy"> ist als neutrales Element der Addition gleichzeitig <a href="Absorbierendes_Element" title="Absorbierendes Element">absorbierendes Element</a> der Multiplikation. Deshalb ist es selbst ein Nullteiler, ein trivialer Nullteiler. Ferner wird ein Nullprodukt, das einen Faktor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}" loading="lazy"> enthält, trivialerweise <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle =0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle =0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6dc9e66de468806365c20e32e83456cc526ce29e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.616ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle =0}" loading="lazy">, weshalb Produkte mit einem bekannten Faktor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}" loading="lazy"> zur Definition des Begriffs Nullteiler nicht herangezogen werden.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}" loading="lazy"> ein Ring und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in R}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in R}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/49b8332c70318b1c764cb4bcea0a6eb274600975.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.834ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\in R}" loading="lazy">, dann unterscheidet man zwischen:<a href="#cite_note-1">[1]</a><a href="#cite_note-2">[2]</a><a href="#cite_note-:0-3">[3]</a>

<ul><li>Linksnullteiler: Es gibt ein Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b\in R\setminus \{0\}}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b\in R\setminus \{0\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d274266577360ac81a19108c6bd4964da421c398.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.284ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle b\in R\setminus \{0\}}" loading="lazy">, so dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ab=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ab=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1a59b821cbfde052e05d53bf5f013cbb97a6bbd6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.488ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle ab=0}" loading="lazy">.</li>

<li>Rechtsnullteiler: Es gibt ein Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b\in R\setminus \{0\}}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b\in R\setminus \{0\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d274266577360ac81a19108c6bd4964da421c398.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.284ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle b\in R\setminus \{0\}}" loading="lazy">, so dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ba=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ba=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8758e69544f569aa5b92c15a8d7cb2c4cfbd81a6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.488ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle ba=0}" loading="lazy">.</li>

<li>(zweiseitiger) Nullteiler: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> ist sowohl Links- als auch Rechtsnullteiler.</li>

<li>Linksnichtnullteiler: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> ist kein Linksnullteiler.</li>

<li>Rechtsnichtnullteiler: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> ist kein Rechtsnullteiler.</li>

<li>(zweiseitiger) Nichtnullteiler: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> ist weder Links- noch Rechtsnullteiler, oft auch reguläres Element genannt.</li></ul>

In nichtkommutativen Ringen müssen Linksnullteiler keine Rechtsnullteiler sein und umgekehrt, bei kommutativen Ringen hingegen fallen die zwei mal drei Begriffe schlicht zu Nullteiler bzw. Nichtnullteiler zusammen.

Man nennt von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}" loading="lazy"> verschiedene Links-, Rechts- oder zweiseitige Nullteiler echt (dann sind beide Faktoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \neq 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7fa3bd11995e996e9da521e70b3feabceaee5d22.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.616ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \neq 0}" loading="lazy">). Ein Ring ohne echte Links- und ohne echte Rechtsnullteiler heißt nullteilerfrei.

Ein nullteilerfreier, kommutativer Ring mit Einselement <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1\neq 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9bee82995e4ac724a7b5fdfb4b0d76560321e1d4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.423ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 1\neq 0}" loading="lazy"> heißt <a href="Integrit%C3%A4tsring" title="Integritätsring">Integritätsring</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Satz_vom_Nullprodukt">Satz vom Nullprodukt</h2></div>

Für nullteilerfreie Ringe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}" loading="lazy"> gilt per Definition:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ab=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1a59b821cbfde052e05d53bf5f013cbb97a6bbd6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.488ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle ab=0}" loading="lazy"> für zwei Elemente <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b\in R}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b\in R}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d992800adce8f580e87a3c79b62f0e12d5349e1d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.866ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b\in R}" loading="lazy">, dann ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/90d476e5e765a5d77bbcff32e4584579207ec7d8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.491ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a=0}" loading="lazy"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b=0.}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b=0.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/09f7a3e6a6c615ae3253973f17fa59686eb20931.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.905ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b=0.}" loading="lazy"></dd></dl>

Diese Aussage wird auch, vor allem in der <a href="Schulmathematik" title="Schulmathematik">Schulmathematik</a>, als Satz vom Nullprodukt bezeichnet.<a href="#cite_note-4">[4]</a> Der Satz vom Nullprodukt gilt insbesondere im Bereich der reellen Zahlen und kann dort manchmal vorteilhaft benutzt werden, um Gleichungen aufzulösen.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beispiel">Beispiel</h3></div>

Gesucht sind die reellen Zahlen, welche die Gleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2x^{2}-6x=0}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2x^{2}-6x=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1b42014b619b6dc35f5619b619fde7da073af218.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:13.14ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 2x^{2}-6x=0}" loading="lazy"> erfüllen. Durch Ausklammern erhält man die äquivalente Gleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2x(x-3)=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2x(x-3)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ede157b8d0ba7dc627b8a8dc69b19ca29da0ccda.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.895ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 2x(x-3)=0}" loading="lazy">. Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt nun <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2x=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2x=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/733c1a41173f4e0ef2f7c282722e86f95914553c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.753ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2x=0}" loading="lazy"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x-3=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x-3=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b2302081622b097da5fb39c2a838ee57af204846.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.593ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x-3=0}" loading="lazy">. Also hat die Gleichung die beiden Lösungen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1}=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/29d278bb750c26d4220fe951a98423a8e9cf354b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.645ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{1}=0}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{2}=3}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{2}=3}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d33d44e05a5bbd05f91b16081a47b8e5b9d69e37.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.645ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{2}=3}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele">Beispiele</h2></div>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/449494a083e0a1fda2b61c62b2f09b6bee4633dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} }" loading="lazy"> der <a href="Ganze_Zahlen" class="mw-redirect" title="Ganze Zahlen">ganzen Zahlen</a> ist nullteilerfrei,<a href="#cite_note-:1-5">[5]</a> der Ring <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a807ab4cb3de13a66771b5a303aca31e0391e6aa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.605ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}" loading="lazy"> (mit komponentenweiser Addition und Multiplikation) enthält zum Beispiel die Nullteiler <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (0,1)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (0,1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c79c6838e423c1ed3c7ea532a56dc9f9dae8290b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.168ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (0,1)}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (1,0)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (1,0)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5b53cc1773694affcc1d4d6c2c778d43156a1206.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.168ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (1,0)}" loading="lazy">, denn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (0,1)\cdot (1,0)=(0,0)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (0,1)\cdot (1,0)=(0,0)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/67673e1f9e40c475a85a5739b0d88313dd6e7999.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.282ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (0,1)\cdot (1,0)=(0,0)}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (1,0)\cdot (0,1)=(0,0)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (1,0)\cdot (0,1)=(0,0)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/768a1fceb4398bd0ad0622a41ccea52b6e63df06.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.282ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (1,0)\cdot (0,1)=(0,0)}" loading="lazy">.</li></ul>

<ul><li>Jeder <a href="K%C3%B6rper_(Algebra)" title="Körper (Algebra)">Körper</a> ist nullteilerfrei, denn jedes von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}" loading="lazy"> verschiedene Element hat ein multiplikatives Inverses.</li></ul>

<ul><li>Der <a href="Restklassenring" title="Restklassenring">Restklassenring</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} /6\mathbb {Z} }">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} /6\mathbb {Z} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a1e84bc3701b5f3f6b222f2323369c81541690d9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.426ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} /6\mathbb {Z} }" loading="lazy"> hat die Nullteiler 2, 3 und 4, denn es ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\cdot 3\equiv 4\cdot 3\equiv 0\mod 6}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\cdot 3\equiv 4\cdot 3\equiv 0\mod 6}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5ba68908ef5d2afa7355b4837c2030d1fc757721.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:24.792ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2\cdot 3\equiv 4\cdot 3\equiv 0\mod 6}" loading="lazy">.</li></ul>

<ul><li>Allgemein ist für eine natürliche Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n>1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n>1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ee74e1cc07e7041edf0fcbd4481f5cd32ad17b64.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n>1}" loading="lazy"> der Restklassenring <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f2120ebbc85f91df66c6de5446367bf9fd620844.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.658ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }" loading="lazy"> genau dann nullteilerfrei (sogar ein Körper), wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> eine <a href="Primzahl" title="Primzahl">Primzahl</a> ist.<a href="#cite_note-:1-5">[5]</a></li>

<li>Der <a href="Polynomring" title="Polynomring">Polynomring</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K[x]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K[x]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8a9e6c2ac2830d6a9abe078b47450777c41d69a9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.689ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle K[x]}" loading="lazy"> über einem beliebigen Körper <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy"> ist nullteilerfrei.<a href="#cite_note-6">[6]</a></li></ul>

<ul><li>Der Ring der reellen 2×2-Matrizen enthält beispielsweise die Nullteiler</li></ul>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}\quad {\text{und}}\quad {\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fa6e1de6dc733cf3251d54090d1efbe77e4a538b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:29.779ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}\quad {\text{und}}\quad {\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}}}" loading="lazy"></dd></dl></dd>

<dd>denn

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6db31e03c406df4dbaeab9014b18499d9719b910.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:35.501ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}.}" loading="lazy"></dd></dl></dd></dl>

<ul><li>Allgemein sind in einem <a href="Matrizenring" title="Matrizenring">Matrizenring</a> über einem Körper oder Integritätsring genau die <a href="Matrix_(Mathematik)" title="Matrix (Mathematik)">Matrizen</a> Nullteiler, deren <a href="Determinante_(Mathematik)" class="mw-redirect" title="Determinante (Mathematik)">Determinante</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}" loading="lazy"> ist. Hier gibt es trotz fehlender Kommutativität keinen Unterschied zwischen Links- und Rechtsnullteilern.<a href="#cite_note-:0-3">[3]</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Eigenschaften">Eigenschaften</h2></div>

<ul><li>In Ringen ist ein Element ungleich Null genau dann Links-, Rechts- oder zweiseitiger Nichtnullteiler, wenn es links-, rechts- bzw. zweiseitig <a href="K%C3%BCrzbar" class="mw-redirect" title="Kürzbar">kürzbar</a> ist.<a href="#cite_note-7">[7]</a></li></ul>

<ul><li>In einem Ring mit Einselement sind echte Nullteiler (linke oder rechte) nicht invertierbar, d. h. keine <a href="Einheit_(Mathematik)" title="Einheit (Mathematik)">Einheiten</a>. Sei nämlich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\neq 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f455a7f96d74aa94573d8e32da3b240ab0aa294f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.491ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a\neq 0}" loading="lazy"> bspw. ein linker Nullteiler, es gibt also ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b\neq 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ad073253b4c817f2ec7e3dd7517b7f89a8e581dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.258ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle b\neq 0}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ab=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ab=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1a59b821cbfde052e05d53bf5f013cbb97a6bbd6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.488ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle ab=0}" loading="lazy">. Angenommen nun, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> wäre invertierbar, es gäbe also ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ca=1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ca=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bfbdde1ff06153f271d701d14d81e5dc2571f646.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.498ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle ca=1}" loading="lazy">, dann ergäbe sich der Widerspruch</li></ul>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b=(ca)b=c(ab)=c\,0=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0253191032b810e2e187d8b46b76e549e5a17e53.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.197ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle b=(ca)b=c(ab)=c\,0=0}" loading="lazy">.</dd></dl></dd>

<dd>Im Fall eines Rechtsnullteilers sind die Terme zu spiegeln.</dd>

<dd>In einem nichtkommutativen Ring mit Einselement gilt: Ein Linksnullteiler hat kein Linksinverses, jedoch kann ein Linksnullteiler ein Rechtsinverses haben; analog für Rechtsnullteiler. Ein beidseitiger Nullteiler hat demnach kein Inverses.</dd></dl>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> ein Linksnullteiler, dann ist für jedes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"> das Produkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ba}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ba}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e7da31f1e7472a309d2d5179ebe881dedc5f68ff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.227ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle ba}" loading="lazy"> ebenfalls ein Linksnullteiler (oder gleich null). Das Produkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ab}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ab}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/49337c5cf256196e2292f7047cb5da68c24ca95d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.227ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle ab}" loading="lazy"> muss hingegen kein Links- oder Rechtsnullteiler sein (siehe dazu das Beispiel des Matrixrings <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}" loading="lazy"> im Artikel <a href="Einheit_(Mathematik)" title="Einheit (Mathematik)">Einheit (Mathematik)</a>, dessen Elemente <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> einseitige Nullteiler sind, die jeweils einseitige Inverse voneinander sind, da <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle AB=E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle AB=E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f20d1d77eed65f775bf89b2b80394370bc49592.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.381ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle AB=E}" loading="lazy"> die <a href="Einheitsmatrix" title="Einheitsmatrix">Einheitsmatrix</a> ist).</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Topologischer_Nullteiler" title="Topologischer Nullteiler">Topologischer Nullteiler</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> <a href="B._L._van_der_Waerden" class="mw-redirect" title="B. L. van der Waerden">B. L. van der Waerden</a>: <cite style="font-style:italic">Algebra I</cite>. 8. Auflage. Springer, Berlin New York 1971, ISBN 3-540-03561-3, S. 36.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Nullteiler&rft.au=B.+L.+van+der+Waerden&rft.btitle=Algebra+I&rft.date=1971&rft.edition=8.&rft.genre=book&rft.isbn=3540035613&rft.pages=36&rft.place=Berlin+New+York&rft.pub=Springer" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> <a href="Gerd_Fischer_(Mathematiker)" title="Gerd Fischer (Mathematiker)">Gerd Fischer</a>: <cite style="font-style:italic">Lehrbuch der Algebra</cite>. 4. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2017, ISBN 978-3-658-19217-4, S. 172.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Nullteiler&rft.au=Gerd+Fischer&rft.btitle=Lehrbuch+der+Algebra&rft.date=2017&rft.edition=4.&rft.genre=book&rft.isbn=9783658192174&rft.pages=172&rft.place=Wiesbaden&rft.pub=Springer+Spektrum" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-:0-3">↑ <a href="#cite_ref-:0_3-0">a</a> <a href="#cite_ref-:0_3-1">b</a> <a href="Jens_Carsten_Jantzen" title="Jens Carsten Jantzen">Jens Carsten Jantzen</a>, <a href="Joachim_Schwermer" title="Joachim Schwermer">Joachim Schwermer</a>: <cite style="font-style:italic">Algebra</cite>. 2. Auflage. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-40532-7, S. 85.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Nullteiler&rft.au=Jens+Carsten+Jantzen%2C+Joachim+Schwermer&rft.btitle=Algebra&rft.date=2014&rft.edition=2.&rft.genre=book&rft.isbn=9783642405327&rft.pages=85&rft.place=Berlin%2C+Heidelberg&rft.pub=Springer+Spektrum" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Bärbel Barzel, Matthias Glade, Marcel Klinger: <cite style="font-style:italic">Algebra und Funktionen: Fachlich und fachdidaktisch</cite>. 1. Auflage. Springer, Berlin, Heidelberg 2021, ISBN 978-3-662-61392-4, S. 35.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Nullteiler&rft.au=B%C3%A4rbel+Barzel%2C+Matthias+Glade%2C+Marcel+Klinger&rft.btitle=Algebra+und+Funktionen%3A+Fachlich+und+fachdidaktisch&rft.date=2021&rft.edition=1.&rft.genre=book&rft.isbn=9783662613924&rft.pages=35&rft.place=Berlin%2C+Heidelberg&rft.pub=Springer" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-:1-5">↑ <a href="#cite_ref-:1_5-0">a</a> <a href="#cite_ref-:1_5-1">b</a> Christian Karpfinger: <cite style="font-style:italic">Algebra: Gruppen – Ringe – Körper</cite>. 6. Auflage. Springer, Berlin, Heidelberg 2024, ISBN 978-3-662-68655-3, S. 195.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Nullteiler&rft.au=Christian+Karpfinger&rft.btitle=Algebra%3A+Gruppen+-+Ringe+-+K%C3%B6rper&rft.date=2024&rft.edition=6.&rft.genre=book&rft.isbn=9783662686553&rft.pages=195&rft.place=Berlin%2C+Heidelberg&rft.pub=Springer" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> Gerd Fischer, Boris Springborn: <cite style="font-style:italic">Lineare Algebra: Eine Einführung für Studienanfänger</cite>. 19. Auflage. Springer, Berlin, Heidelberg 2020, ISBN 978-3-662-61644-4, S. 77.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Nullteiler&rft.au=Gerd+Fischer%2C+Boris+Springborn&rft.btitle=Lineare+Algebra%3A+Eine+Einf%C3%BChrung+f%C3%BCr+Studienanf%C3%A4nger&rft.date=2020&rft.edition=19.&rft.genre=book&rft.isbn=9783662616444&rft.pages=77&rft.place=Berlin%2C+Heidelberg&rft.pub=Springer" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> Kurt Meyberg: Algebra. Band 1. Hanser, München u. a. 1980, ISBN 3-446-13079-9, Lemma 3.2.15

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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